Análise combinatória - Exercícios de combinações simples


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 Exercícios resolvidos de combinações simples

1 – Uma escola tem 9 professores de matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 são possíveis? Os agrupamentos são combinações simples, pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta pelo menos uma pessoa diferente. Invertendo a ordem dos elementos, não alteramos o grupo.

Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9 professores de matemática (mi): 

Mas aqui consideramos distintos os agrupamentos do tipo (m3,m7,m6,m9) e (m7,m3,m6,m9)

A quantidade de agrupamentos formados por esses professores, mudando-se apenas a ordem, é dada por P4 = 4!=24.

Logo, o número de combinações simples será o quociente 3024:24=126.

2. Ainda usando o exemplo anterior. Dos 9 professores de matemática dentre os quais 4 irão a um congresso, calcular quantos grupos serão possíveis.



3. Resolver a equação Cx, 2 = 3.


Logo V = {3}

4. Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes?

Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10 atacantes apenas 5 serão escolhidos. Como a ordem não faz diferença, temos:

escolhas do levantador.



escolhas dos 5 atacantes.



Logo, teremos 2 · 252 = 504 formas de escolher o time.

5. Durante o jogo, 2 atacantes e o levantador foram substituídos. De quantas formas isso poderia ser feito?

Dos jogadores que não estavam na quadra, 1 era levantador e 5 eram atacantes. Assim, só há uma forma de substituir o levantador e C5, 2 formas de substituir os dois atacantes. Logo, as substituições poderiam ter sido feitas de:

formas diferentes.


6. Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podem ser formadas?


comissões.


7. De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos?


modos.


8. Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?

  saladas

9. De quantas maneiras podemos escolher 2 estudantes numa classe com 30 alunos?

A questão é a mesma que perguntar quantos subconjuntos de dois elementos possui um conjunto com 30 elementos. A resposta é:

10. Num grupo de 9 pessoas há 2 garotas e 7 rapazes. De quantas maneiras podemos escolher

4 membros do grupo sendo que, no mínimo, há uma garota dentre os escolhidos?

Se dentre os 4 membros escolhidos há uma garota, essa escolha pode ser feita de C7, 2 . C2, 1 maneiras distintas. Se dentre os 4 membros escolhidos há duas garotas, essa escolha pode ser feita de C7, 2 . C2, 2 maneiras distintas. Portanto, o número pedido é

Ou seja. C7, 2 . C2, 1 + C7, 2 . C2, 2 = 91

11. De quantas maneiras podemos dividir 10 rapazes em dois grupos de cinco?

O primeiro grupo pode ser escolhido de C10, 5 modos. Escolhido o primeiro grupo, sobram 5 pessoas e só há uma maneira de formar o segundo grupo. A resposta parece ser C10, 5 . 1

Entretanto, contamos cada divisão duas vezes. Por exemplo, a divisão dos rapazes nos dois grupos {a, b, c, d, e} e {f, g, h, i, j} é idêntica a divisão nos grupos: {f, g, h, i, j} e {a, b, c,d, e}, e foi contada como se fossem distintas. Portanto, a resposta é:


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Permutações, permutações com elementos repetidos, arranjos simples, combinação simples, exercícios com desenvolvimentos, além de dicas de softwares para auxiliar no desenvolvimento dos seus exercícios.

Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!

Se você quer cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Fique a vontade. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br ,ou comente aqui mesmo. Por enquanto ficamos por aqui! Agradeço antecipadamente, comentários, dicas, criticas e sugestões.

Observação:
- Após terminar seus downloads, passe um antivírus antes de abrir seu arquivo.
- Crie um ponto de restauração no Windows, antes de instalar qualquer programa,ou arquivo .

Referências:

BACHX, A. de; POPPE, L. M. B.; TAVARES; RAYMUNDO N. O. – Prelúdio à Análise Combinatória. Companhia Editora Nacional. 1975

CARVALHO, P. C. P; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C; WAGNER, E. – A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. 1998

CARVALHO, J. B. P; CARVALHO, P. C. P; FERNANDEZ, P; MORGADO, A. C de O. – Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática.
Fontes:
http://www.olimpiada.ccet.ufrn.br/
Sociedade Brasileira de Matemática. 1991

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31 Comentários

Anônimo disse...

Como faço para:
Num universo de 200 números identificados de 1 a 200, posso fazer 10 grupos de 20 numeros sem nenhuma repetição.
Quntos grupos de 20 números a mais poderei fazer, com apenas uma repetição.
Em caso positivo, pois considero imposível, como fazer ?

Anônimo disse...

O gremio estudantil de uma escola realiza eleiçoes para preenchimento das vagas de sua diretoria para presidente apresentam-se 5candidatos vice-presidentes 8 candidatos e para secretaria 6 candidatos quantaschapas podemos formar?

caco disse...

Neste caso pode ser feita uma multiplicação direta

C=5.8.6 =240

Logo são 240 chapas que podem ser formadas pelos integrantes do grupo estudantil.

Anônimo disse...

Parabens pelo seu blog, me ajudou muito. Valeu, e que Deus te ajude, ate mais.

Paôla disse...

Oi professor!
Por gentileza, como faço para simplificar
An,2 / An-1, 2 e A2n,2 / A2n +1,2 ?

Grata!

Paôla

caco disse...

Paola, dê uma espiada nos comentários neste link:

http://matematica-na-veia.blogspot.com/2009/08/analise-combinatoria-combinacao-simples.html

Já resolvi exercícios idênticos aos seus. E por coincidência foi Paola também.

An,p Abraços para você!!!

Paôla disse...

Valeu professor, vou dar uma olhada!!!

Obrigada!!

bjos

Cristina disse...

Nossa esse blog esta maravilhoso!
Me ajudou muito!
Valeu :)

sandra disse...

preciso de ajuda e urgente e importante porque tenho teste amanha.
Quatro casais estao numa festa.Escolhem-se duas pessoas ao acaso.Qual e a probalidade de termos a)um homen e uma mulher,b)marido e mulher
e para resolver usando permutaçao ou arranjos ou combinaçoes

júlia disse...

obrigada!!!

silveira disse...

muito bom este site
eu faço o curso de matematica, e adorei conhecer este ambiente

caco disse...

Tudo bem Silveira? Sinta-se a vontade para participar do blog. Se precisar de alguma coisa que estiver ao meu alcance pode pedir. Um abraço!

jadyh disse...

Adorei o seu blog professor!!!



Eu também serei uma futura professora de "MATEMÀTICA"....


jadyh.

Beijokas.......

Anônimo disse...

Eu preciso de algo mais completo alguma coisa que não seja tão complicado assim uma coisa mais explicita,preciso saber sobre os arranjos com repetição que são mais complicados!!!

caco disse...

Valeu jadyh! (Beijos)² pra você também!

caco disse...

Sr ou Sra Anônimo, providenciarei mais artigos sobre arranjos assim que possível. Um abraço!

GISA disse...

ESTOU COM DIFICULDADE PRA RESOLVER ESSA QUESTÃO: Cx,2=21.
VOCÊ PODERIA ME AJUDAR?

Priscilla disse...

ola, gostaria de saber como resolver o seguinte exercício quantos números  múltiplos de cinco com quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6?

Priscilla disse...

Como se resolve esse exercício quantos números ímpares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,9?

Maria disse...

se o número é impar, deve terminar com número ímpar, portanto para a última casa teremos as seguintes possibilidades: 1, 3, 5, 9
Se o algarismo tem 4 números ele não pode começar com zero.

então começamos pela última casa, são 4 possibilidades. vamos agora para a primeira casa, eu não posso usar nem o zero e nem o número da última casa, então eu tenho 6 possibilidades
Para a segunda casa, eu também tenho 6 possibilidades, pois o zero pode entrar na segunda casa.
E para a terceira casa, teremos 5 possibilidades,

Então, a resposta é: 6 x 6 x 5 x 4 = 720 possibilidades

Alexandra disse...

LEGAL RESOLVEU MUITO O MEU PROBLEMA OBRIGADA
Bjs..................

Paulo o Nerd disse...

desculpe Maria , te falar mas a sua resposta esta errada, pois tirando o 1º e o último elemento ficaria 5 possibilidades e não 6 possibilidades.Com base nisso ficaria assim:
5 x 4 x 3 x 2= 120 POSSIBILIDADES, e Não 720. Não faz sentido algum colocar 2 vezes o 6 pois quando tiramos 1 elemento diminui o próximo e não fica igual ou aumenta . OK! e isso ai fui...

Marilia disse...

Acredito que a resposta dela esteja certa, resolvi do mesmo jeito.
Ela coloca o 6 na casa de milhar pq o número poderá começar com qualquer um dos elementos, menos 0 e outro número qualquer que já terá sido colocado na casa das unidades (para definir a condição de ímpar). 6 . _ . _ . 4
Na casa das centenas também pode ser usado qualquer número, dessa vez incluindo o 0, e excluindo o que já foi colocado na unidade e milhar. 6 . 6 . _ . 4
Aí sim, na casa da dezena a sua teoria tem que ser seguida. Poderá colocar qualquer um dos elementos menos os que já foram colocados 6 . 6 . 5 . 4 = 720

Ednalva disse...

Tenho teste amanhã me ajude..
Para viajar de uma cidade A para uma cidade B, há 5 rodovias lingando A a B, é três linhas aéreas e duas linhas aéreas ligando a cidade C. de quantas maneiras pode-se viajar de A até a C passando por B?

ramon disse...

o primeiro exemplo esta confuso

Jéssica disse...

A resposta da questão número 10, não seria 441? Pois se faz C2,1 . C7,3 + C2,2 . C 7,2 ?

Erica Vianna disse...

só os loucos sabem...................................tipo muito radical amei

Vanda Bittencourt disse...

8. Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?


saladas


Pode me ajudar neste exercício?Pois não entendi, quando vou multiplicar os valores: 8.7.6.5! obtenho um resultado diferente do resultado informado (56)..

LJ Aulas Particulares disse...

muito bom

Rafael Michelangelo Rodrigues disse...

você tem oito frutas e precisa de 5 delas para formar a salada , vendo por esse ponto temos um resto .
outro ponto se eu pegar a fruta numero 1 e a 7 e a 5 e mais duas e alterar qual eu vou usar primeiro vai alterar alguma coisa ? não
então possuo uma combinação . vejamos :
preciso de cinco frutas e tenho 8 , então C8,5
o fatorial de oito precisa estar presente 5 vezes e não quatro !
então : 8.7.6.5.4 / 5.4.3.2.1 ... depois de simplificar : C=8.7 = 56

Anônimo disse...

Professor não entendi a 7 questão.explique-me por favor.

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