Análise combinatória - Combinação simples


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E aí! Já treinou bastante os outros conteúdos do blog? Já sabe desenvolver fatoriais, permutações e arranjos, e agora está fera. Quer aprender mais ainda?
Então vamos aprender mais um conteúdo legal de análise combinatória.
Caso surgir alguma dúvida navegue pela aba
Combinação simples.

Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados p a p aos subconjuntos formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados.

É importante observar que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.
Representando por Cn,p o número total de combinações de n elementos tomados p a p , temos a seguinte fórmula:

 

“Combinação simples de n elementos tomados p a p ( ) são subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados”.

Vamos relembrar alguns conceitos de arranjos.
Vamos passear um pouco por arranjos, e depois vamos seguir no mesmo exemplo trabalhando com combinação.

Vejamos um exemplo clássico.

1)      Vamos considerar o conjunto A = {1,2,3,4,5}
Agora vamos formar todos os arranjos possíveis de 2 elementos distintos do conjunto A.

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5)
(2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (3,2) (4,2) (5,2) (4,3) (5,3) (5,4)

Porque (1,2) ≠ (2,1) ; (1,3) ≠ (3,1) , etc.

Note que usamos ( ) para denotar arranjos, pois são pares ordenados, o que implica em elementos distintos em cada agrupamento.
A simples mudança de ordem gera um novo par ordenado.

Então, utilizando a fórmula geral para arranjos simples. Onde
n= 5 (número total de elementos do conjunto A)
p= 2 (número de elementos tomados p a p – tomamos 2 elementos de cada vez para fazer os agrupamentos)

    

Observe que trabalhamos com 2 elementos tomados p a p, do conjunto com o total de n=5 elementos. Ou seja, fizemos arranjos de 2 a 2 com os 5 números do conjunto A.

Mas, e se quisermos saber, quantos subconjuntos de 2 elementos, podem ser formados por estes arranjos. Como proceder? Agora a conversa muda um pouco! Vamos ver como fica.
Os subconjuntos de 2 elementos que podemos formar são:
{1,2}, {1,3}, {1,4} ,{1,5} ,{2,3} ,{2,4} ,{2,5} ,{3,4}, {3,5}, {4,5}
Desta forma temos:
, porque {1,2}={2,1} ;  {1,3} = {3,1} , etc.

Note que usamos {} para denotar combinações, pois são subconjuntos, e a ordem dos elementos num subconjunto não se altera.
E com 3 elementos como fica? O número de arranjos será:  
Temos: 

E o número de subconjuntos será:  

Já deu para perceber que:            

 
 
Vamos ver agora alguns exemplos mais elaborados.

Exercícios resolvidos de combinações simples.

1)      Uma prova consta de 6 questões, das quais o aluno deve resolver 3. De quantas formas ele poderá escolher as 3 questões?

Quer-se agrupar 3 elementos, dentre os 6 existentes.

Perceba que a ordem em que os elementos aparecerão não será importante, uma vez que, ao resolver a  1ª , a 2ª e a 3ª questão é o mesmo que resolver a 2ª , a 3º e a 1ª, portanto é um problema de combinação.

Logo, um aluno pode escolher suas 3 questões de 20 maneiras diferentes.


 Observe que, se quiséssemos apenas fazer os arranjos destes elementos 3 a 3, teríamos:


Faça você os arranjos, e depois verifique como foi feito nos exemplos anteriores, que esta afirmação é verdadeira.

2) De quantos modos distintos Amiroaldo pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que possui para levar em uma viagem para Mosqueiro.
Suponha que Amiroaldo escolha as camisas 1, 2, 3 e 4.

                      Amiroaldo escolhendo as camisas:



                 Fonte camisa: http://www.portalimpacto.com.br/
Veja que (1, 2, 3, 4) = (1, 3, 4, 2), pois não importa em que ordem Amiroaldo escolhe as camisas que vai levar, o importante é que as camisas escolhidas são as mesmas na primeira e na segunda situação. Problemas como esses são resolvidos com a idéia de Combinação simples.


 Existem 126 maneiras diferentes para Amiroaldo escolher 4 camisetas das 9 que possui.

Se fosse calculado o número de arranjos destas camisetas tomadas 4 a 4, teríamos 3024 arranjos.
Faça você os arranjos, e depois verifique como foi feito nos exemplos anteriores, que esta afirmação é verdadeira. (Brincadeira! Para você verificar a veracidade desta afirmação, vou dar uma dica de um software legal para você conferir as respostas dos exercícios propostos -  Baixar software -:).

É só baixar e descompactar em uma pasta de sua preferência.
Observação: 

- Após terminar seus downloads, passe um antivírus antes de abrir seu arquivo.
- Crie um ponto de restauração no Windows, antes de instalar qualquer programa,ou arquivo . 
 
3)  Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma apresentação. Quais e quantas são as possibilidades?
Representamos cada pessoa por uma letra
A: Ane;
E: Elisa;
R: Rosana;
F: Felipe;
G: Gustavo.
Precisamos determinar todos os subconjuntos de 2 elementos do conjunto de 5 elementos {A,E,R,F,G}. A ordem em que os elementos aparecem nos subconjuntos não importa, pois Ane-Elisa, por exemplo, é a mesma dupla que Elisa-Ane.
Então, os subconjuntos  de 2 elementos são?

{A,E},{A,R},{A,F},{A,G},{E,R}{E,F},{E,G},{R,F},{R,G}{F,G}.
Chamamos estes subconjuntos de combinação simples de 5 elementos tomados com 2 a 2. Escrevemos C5,2 .
Onde C5, 2   representa a fórmula das combinações simples:
Substituindo na fórmula


Preste atenção nesta próxima propriedade das combinações.
Propriedade importante das combinações:




De modo geral temos que:

Cn, p = Cn, n-p


Confirme esta propriedade utilizando o software Mathsys.
Observação:  Siga os mesmos conselhos dados na observação anterior

Existem notações diferentes para combinações simples. Vamos usar uma em particular, pois será muito importante nos familiarizar-mos com ela.

Veja que:



Veja que, a frase “Vários caminhos levam a Roma” , se encaixa bem nesta parte do texto, pois.
 



Vamos ver alguns exemplos.
Exercícios resolvidos – Número binomial de ordem n e classe p.
1º - Vamos calcular o valor de:




5º - No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho de 40 cartas(são excluídas as cartas 8, 9 , 10).

De quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas 3 cartas
As 3 cartas diferem entre si pela natureza delas, e não pela ordem. Como a ordem não importa, calculamos?

Portanto, cada jogador pode receber suas 3 cartas de 9880 maneiras diferentes.
Faça estes exercícios com as outras notações. Lembre que, matemática só se aprende praticando muito.
Por enquanto é isso. Ficamos por aqui, mas em breve serão disponibilizados exercícios e mais alguns conceitos e curiosidades sobre este conteúdo.


Se você deseja baixar o conteúdo deste artigo em formato PDF, baixe o arquivo:

MATEMÁTICA NA VEIA - ANÁLISE COMBINATÓRIA - COMBINAÇÕES SIMPLES
 Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!

Se você quer cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Fique a vontade. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br ,ou comente aqui mesmo. Por enquanto ficamos por aqui! Agradeço antecipadamente, comentários, dicas, criticas e sugestões.

Observação:
- Após terminar seus downloads, passe um antivírus antes de abrir seu arquivo.
- Crie um ponto de restauração no Windows, antes de instalar qualquer programa,ou arquivo . 



VII) BIBLIOGRAFIA:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática Dante Volume único, São Paulo, 1º edição, Ática, 2009.
DANTE,P.J. & HERSH, R. A experiência matemática, Rio de Janeiro, Francisco Alves, Ática, 1997.
BEZERRA, Manoel Filho. Matemática para o ensino médio, Volume único, Manoel Jairo Bezerra. São Paulo, Scipione (Série parâmetros). 2004, 5º Edição.
Matemática - vol 3, 2º grau aula 52. TIZZIOTTI,
Adaptações e imagem - camisa
http://www.portalimpacto.com.br/


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29 Comentários

Kesia disse...

Késia,
gostei muito PARABÉNS PELO SITE !!!

caco disse...

Obrigado pela sua participação aqui no blog Késia! Precisando estamos às ordens. Abraços e volte sempre.

Paôla disse...

Oi Caco, tudo bem?
Gostaria que me explicasse como faço para simplificar:
a)Arranjo de n elementos tomados 3 a 3,divido por arranjo de n-1 elementos, tomados 2 a 2 .
b)Arranjo de 2n elementos tomados 2 a 2, divido por arranjo de 2n+1 elementos, tomados 2 a 2.

Grata!

Paôla

caco disse...

Tudo bem Paola? A idéia é simplificar o numerador pelo denominador, mas como temos dois arranjos vamos simplificar os dois separadamente. An,3 e An-1,2:

An,p=n!/(n-p)! Logo

Observe que vou expandir o menor valor n! até chegar ao maior que é (n-3)!

An,3 = n!/(n-3)! = n(n-1)(n-2)(n-3)! / (n-3)!
Cheguei em (n-3)!, agora é só simplificar (n-3)!/(-3)! e fica
= n(n-1)(n-2)
e
Procedimento igual ao anterior:

An-1,2 = (n-1)!/[(n-1)-2]!=(n-1)(n-2)(n-3)!/(n-3)! =(n-1)(n-2)

Assim : n(n-1)(n-2) /(n-1)(n-2)= n

O outro procede do mesmo modo.
Preste atenção e treine bastante, pois fatoriais sempre exigem muita atenção ao simplificar.

Abraços!

Paôla disse...

Olá professor!
Valeu pela ajuda!!!
Resolvi os exercícios de acordo com sua orientação e deu certinho.
OBRIGADA!

Abraços
Paôla

Daniel disse...

Olá Professor !
estou precisando de ajuda nessa questão aqui!
Se puder ajudar, eu fico grato
1 - Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes, podem ser feitas?

caco disse...

De nada Paôla! Quando precisar é só pedir.

caco disse...

Daniel, tu não leu o texto, senão teria visto que é só colocar os valoes de n e p na fórmula.

Tente fazer n=10 e p=6 . Coloque na fórmula. Cn,p

Um abraço!

Caroline disse...

Olá estou muito preocupada com matemática meu professor não explica muito bem sabe :s

(2n)!sobre (2n-2)! = 12

caco disse...

Caroline disse...
"Olá estou muito preocupada com matemática meu professor não explica muito bem sabe :s

(2n)!sobre (2n-2)! = 12"

(2n)!/(2n-2)!=12 Caroline, qual o maior termo? Tu sabe ver isso?
Vamos ver :
Coloque um valor no lugar do n.
Observe que uso os termos sem o sinal de fatorial.

(2n) => vou usar o valor 1 para ver qual o maior termo.
(2.1) => 2 pela definição.

(2n-2) => vou usar o mesmo valor pois estou fazendo uma comparação.
(2n-2) => (2.1-2)=> (2-2)=0
Note que 2n > 2n-2 , logo vou desenvolver o maior termo até chegar ao valor igual, no caso (2n-2)!

Vamos desenvolver (2n)! então .Você sabe fazer isto?

Use sempre a definição de fatorial n!=n(n-1)!

(2n)!= 2n.(2n-1)! 1º passo.
= 2n.(2n-1).(2n-2)! 2º passo.
Viu como chegamos ao termo (2n-1)!
Como é uma multiplicação podemos simplificar a equação que ficou assim após desenvolvermos o maior termo.

2n.(2n-1).(2n-2)! / (2n-2)!=12 = 12 A barra "/" significa uma divisão.

Simplicando temos: 2n.(2n-1)=12
Daqui em diante é fácil.
Faz as multiplicações necessárias para ficar com uma equação que pode ser resolvida por Baskara.

4.n^2-2.n-12 = 0 . Posso dividir por 2 toda a equação que fica 2.n^2-1.n-6 = 0

A resposta é n ={ 2;-1,5}

Coloque os valores encontrados no lugar da equação fatorial dada.
A resposta vai ser 12.

Observe que a existe fatorial somente de números naturais, ouse já números N={ 0,1,2,3,...} , logo o 2º valor encontrado (1,5) não é verdadeiro para o fatorial da equação dada.

Espero ter ajudado você! Não esqueça de divulgar o blog no seu Orkut. Leia os outros tópicos sobre fatoriais e análise combinatória. Vai lhe ajudar a assimilar melhor as regras e propriedades ddeste conteúdo.

Abraços!

Gilvani disse...

Olá Caco, tudo bem?

Estava estudando este problema, mas, não consegui entender a solução dele, e por que multiplicar por 4?

Agradeço pela ajuda!

Uma organização tem 25 membros, dos quais 4 são doutores. De quantos modos pode ser formada uma comissão de 3 membros, tendo no mínimo, um doutor?

solução:

1 doutor + 2 outros não doutores --> 4.C21,2 = 4.21.20/(2.1) = 840
2 doutores + 1 não doutor --> C4,2.C21,1 = [(4.3)/(2.1)].21 = 126
3 doutores --> C4,3 = 4
Logo, são 840 + 126 + 4 = 970

caco disse...

Tudo bem Gilvani? A idéia básica deste desenvolvimento foi separar por casos. Como eu já falei é sempre mais fácil diminuir o número de possibilidades para entender melhor o problema. Veja que existem 4 doutores ou seja do conjunto total temos que tomar 4 a 4.
Como não dá para fazer isto direto, pois teriam que ser diminuidos os outros membros que não eram doutores.
Que é a mesma coisa. Ele teve que multiplicar por 4 pois fez por partes.
Vou mostrar utilizando a fórmula.

Total de comissoes.

C25,3 = 25!/3![25-3]! =2300

Total de comisssões dos não doutores.

C21,3=1330

Diminui os dois 2300-1330=970

Gilvani disse...

|Obrigado Caco!!! Explicação excelente!

Gilvani disse...

Oi Caco,

Peguei este exercício de Combinação pra fazer, mas, é diferente de tudo o que já estudei, depois de algumas horas, não consegui resolver, então, resolvi apelar para o seu blog, o qual sempre me ajudou!


Deve ser formada uma comissão de 3 estatísticos e 6 economistas. De quantas maneiras diferentes poderão ser formadas essas comissões?
-> A resposta consta como 700.


Obrigado!

caco disse...

Gilvani, faltam dados neste problema1! Da forma como esta daria 511 a resposta.

Metal disse...

Boa tarde,

Estou com um problema que está me causando algumas dúvidas:
Para produzir cerveja caseira utilizo 3 porções de lúpulo, 2 de malte e 1 de fermento.
Possuo 35 tipos de lúpulo, 20 de malte e 30 de fermento.
Na receita posso utilizar 3 tipos de lúpulo diferentes ou 2 tipos ou 1 tipo, da mesma forma para o malte.

Uma das dúvidas é quando posso ter todos os tipos diferentes: (35x34x33x20x19x30)/7!, ou seria (C(35,3) x C(20,2) x 30)/3!)?
Agradeço desde já a atenção dispensada.

[]'s
Metal

caco disse...

Metal, nenhum dos dois, observe que tem as condições que nos remete a combinações com repetições "3 tipos de lúpulo diferentes ou 2 tipos ou 1 tipo'

Vou usar um exemplo genérico para facilitar a compreessão;
Supondo que L=lúpulo
Se fossemos fazer "3 tipos de lúpulo diferentes" não teríamos repetições nesta receita, mas veja que temos " ou 2 tipos diferentes ou 1 tipo" logo teríamos por assim dizer repetições.

Vejamos um exemplo: Tenho 4 tipos diferentes de L disponíveis [l1,l2,l3,l4]
e tenho que fazer subconjuntos de 3 destes l's (p a p) .

Subconjuntos formados 3 a 3

L1 e L1 com {L1,ou L2 ou L3 ou L4}=> {L1L1L1),(L1L1L2)(L1L1L3),(L1L1L4)}

L1 e L2 com {L2 ou L3 ou L4} => {L1L2L2),(L1L2L3),(L1L2L4)}

L1 e L3 com {L3 ou L4} => {(L1L3L3),(L1L3L4)}

L1 e L4 com { L4} => {(L1L3L4)}

------------------------------------------------------------------
L2 e L2 com { L2 ou L3 ou L4} => {(L2L2L2)(L2L2L3),(L2L2L4)}

L2 e L3 com { L3 ou L4} => {(L2L3L3),(L2L3L4)}

L2 e L4com { L4} => {(L2L4L4)}

----------------------------------------------------------------

L3 e L3 com { L3 ou L4} => {(L3L3L3),(L3L3L4)}

L3 e L4com { L4} => {(L3L4L4)}

---------------------------------------------------------------


L4 e L4 com { L4} => {(L4L4L4)}


Assim C[(p-1,n),(p+n-1)] => C[(4-1,3),(4+3-1)]= C[(3,3),(6 )]= 6!/3!.3!= 20

Do mesmo modo usamos para o seu caso.


Logo C[(p-1,n),(p+n-1)] para os dois primeiros casos, ja para o 3º esta correto, é 30.
Logo (37!/34!.3! ).(21!/19!.2!).30 =48951000


Abraços, e não esqueça de mandar uma cerveja para experimentar. hehe!

Anônimo disse...

oi tudo bem ! me ajuda

1°- Quantos numeros de dois algarismos podem ser formados no sistema decimal de numeração?
italo

Anônimo disse...

Como posso chegar a esse resultado?


1) Em dada competição, cinco atletas disputam as medalhas de ouro, prata e bronze. De quantas maneiras diferentes pode-se ter a formação do podium?
a) 10
b) 60
c) 125
d) 15
e) 243

caco disse...

5 possibilidades para ouro
4 possibilidades para prata
3 possibilidades para bronze

logo 5.4.3=60 letra "b"

Anônimo disse...

Combinatória é fácil de aprender, mas difícil de resolver.

Junior disse...

Como temos cinco atletas na competição e no podium temos três lugares ordenados, trata-se de um problema de arranjo simples. Para a posição do ouro temos 5 possibilidades, para a prata; 4 possibilidades e bronze temos 3 possibilidades, portanto N=5*4*3=60.

caco36 disse...

5.4.3.2!/(5-3)!=60 Opção b

Lucas disse...

34. Uma classe tem 18 meninas, incluindo Victória e Karine. De quantas maneiras é possível escolher um time de
basquete (5 jogadoras), de modo que Victória e Karine não estejam ambas no time?
a) 3.640
b) 4.368
c) 5.728
d) 8.008
e) 8.568

andrey disse...

minha prova é amanhã e eu tenho que resolver essa questão do meu trabalho!

1- dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo. sabendo que 4 são levantadores e 8 são atacantes, como escolher 2 levantadores e 4 atacantes?

Artur Freitas disse...

vera consultou um nutricionista que lhe sugeriu uma dieta que incluísse a ingestão de três frutas diariamente, dentre as seguintes opções: abacaxi, banana,caqui,laranja,maça,pera e uva. suponha que vera siga rigorosamente a sugestão do nutricionista, ingerindo três frutas por dia, sendo pelo menos duas diferentes. então, ela pode montar sua dieta diária, com as opções diferentes de frutas recomendadas, de

a) 57 maneiras
b) 50 maneiras
c) 56 maneiras
d) 77 maneiras

tentei resolver essa questão de n maneiras mas nao acho uma formula por causa desse maldito 2 diferentes então ele pode escolher 1 igual ou 3 distintos no caso né ? ou devo obedecer a regra de 2 frutas iguais e 1 diferente pra satisfazer o 2 diferentes ou eu posso escolher 3 diferentes ? eu acho pela minha intuição que daria letra d mas nao sei como resolver isso alguem sabe uma formula e poderia me explicar ?

Paulo Victor disse...

Se puderem me ajudar com essa questão:


Quantos segmentos de reta podemos obter com os pontos abaixo?
Obs: 2 pontos distintos determinam um segmento de reta.


A B C (* = ponto)
* * *
D E
* *
A)5
B)8
C)10
D) 20
E)32

Anônimo disse...

Hello this is somewhat of off topic but I was wondering if blogs use WYSIWYG editors or if you have to manually code with HTML.
I'm starting a blog soon but have no coding expertise so I wanted
to get advice from someone with experience.
Any help would be enormously appreciated!

Take a look at my site: bet angel

Mayara disse...

Olá professor, estou com uma enorme dúvida diante desse problema, tentei procurar várias combinações e não chego ao resultado, acredito ser Combinações para a resolução porém posso estar enganada mas gostaria de sua ajuda.

Desde já, Grata.


Beatriz, Eduardo, Luísa, Regina e Ronaldo formaram um grupo para realizar um serviço para a Empresa Junior da Fatec-Bauru

Para identificar o seu grupo, esses alunos criaram uma sigla de 5 letras contendo, necessariamente, a primeira letra do nome de cada um deles: B,E,L,R e R

Nessas condições, a quantidade de siglas distintas que é possível formar é:

(A) 72
(B) 60
(C) 30
(D) 24
(E) 15

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