Recordando operações e regra de sinais


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Recordando Operações

O fator responsável pelo maior número de erros nos desenvolvimentos de exercícios matemáticos é sem dúvida nenhuma a "regra de sinais".
Além disso a regra de sinais pode ser considerada  um dos fatores mais importantes na matemática. Mas para entendermos como ela funciona, temos que ter bem assimilado como funcionam as quatro operações básicas desta disciplina.

- Adição
- Subtração
- Multiplicação
- Divisão

Você sabe como essas operações são feitas? E quando devemos utilizá-las na solução de um problema?

Muita gente pensa, que quem faz contas com rapidez é boa em matemática.
É engano! Fazer contas rapidamente é uma habilidade que se adquire com a prática. Muito mais importante que fazer contas com rapidez é descobrir quais são as operações que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em matemática, o mais importante é o raciocínio.

Para começar, leia os quatro problemas abaixo e tente descobrir quais são as contas que devem ser feitas.

a) Um motorista de táxi andou 180 km em certo dia e 162 km no dia seguinte.
No total, quanto ele andou nesses dois dias?

b) Uma mercadoria que custa R$37,00 foi paga com uma nota de R$50,00. De quanto foi o troco?

c) Uma caixa de leite tipo “longa vida” possui 16 litros de leite. Quantos litros existem em 12 caixas?

d)Devo repartir 24 balas igualmente entre meus três filhos. Quantas balas deve receber cada um?

Em todos os exemplos desta aula, usaremos apenas números inteiros. Eles são os nossos conhecidos 0, 1, 2, 3,... E também os negativos - 1, - 2, - 3,... .

- A adição
Podemos pensar na operação de adição quando queremos juntar as coisas que estão separadas.

Exemplo 1:

Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 27 alunos, outra com 31 alunos e outra com 18 alunos. Quantos alunos existem ao todo nessa escola?
Para reunir os alunos das 3 turmas, devemos somar a quantidade de alunos de cada turma. A operação que devemos fazer é:
27 + 31 + 18 = 76

Existem, portanto, 76 alunos nessa escola. Cada um dos números de uma soma chama-se parcela. Na operação de adição, podemos somar as parcelas em qualquer ordem. Por isso, temos certeza de que 18 + 27 + 31 também dá 76.

Devemos ainda lembrar que números negativos também podem ser somados.
Por exemplo, a soma de - 12 com - 5 dá - 17. Para escrever essa operação fazemos assim:

- 12 + (- 5) = - 17

Observe que colocamos - 5 entre parênteses para evitar que os sinais de + e de - fiquem juntos. Mas existe outra maneira, mais simples, de escrever a mesma operação. Veja:

- 12 - 5 = - 17

- A subtração

Podemos pensar na operação de subtração quando queremos tirar uma quantidade de uma outra para ver quanto sobra. Veja o exemplo.

Exemplo 2

Uma secretária recebeu a tarefa de preparar 90 envelopes de correspondência. Até a hora do almoço, ela já tinha feito 52. Quantos ela ainda tem de fazer?

Temos aqui um exemplo claro de operação de subtração. A operação que devemos fazer é:
90 - 52 = 38

Assim, depois do almoço, a secretária deverá preparar ainda 38 envelopes.
Observe agora que, em uma subtração, quando o segundo número é maior que o primeiro, o resultado é negativo. Veja:

9 - 5 = 4
5 - 9 = - 4

Para visualizar as operações de adição e subtração, representamos os números inteiros como pontos de uma reta.

Na operação 9 + 5 = 14, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a direita e chegamos ao número 14.


Na operação 9 - 5 = 4, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a esquerda e chegamos ao número 4.

Na operação 5 + 9 = 14, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a direita e chegamos ao número 14.

Na operação 5 - 9 = - 4, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a esquerda e chegamos ao número - 4.

Para resumir, as regras são as seguintes:

- Escrever 5 ou + 5 é a mesma coisa.
- Quando sinais de números e sinais de operações aparecerem juntos, então:

Regras: Exemplos:

(+) e (+) = (+) 5 + (+ 3) = 5 + 3 = 8
(+) e (- ) = (- ) 5 + (- 3 ) = 5 - 3 = 2
(- ) e (+) = (- ) 5 - (+ 3) = 5 - 3 = 2
(- ) e (- ) = (+) 5 - (- 3 ) = 5 + 3 = 8

Veja, a seguir, como devemos proceder numa situação em que há soma e subtração de diversos números.

Exemplo 3

João abriu uma conta bancária. Depois de algum tempo, essa conta apresentou o seguinte movimento:

Qual será o saldo de João após essas operações?

Vamos representar os depósitos por números positivos e as retiradas por números negativos. Devemos então fazer a seguinte conta:

53 - 25 + 65 - 30 - 18

O resultado dessa operação será a quantia que João ainda tem no banco. A melhor forma de fazer esse cálculo é somar os números positivos (os depósitos), somar os números negativos (as retiradas) e depois subtrair o segundo resultado do primeiro. Assim:

053 - 25 + 65 - 30 - 18 =
(53 + 65) - (25 + 30 + 18) = 118 - 73 = 45
Portanto, João ainda tem R$ 45,00 em sua conta bancária.

- A multiplicação

A multiplicação nada mais é que uma soma com parcelas iguais. Por exemplo:

7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5. 7 = 35
O número 7 apareceu 5 vezes. Então, 7 vezes 5 dá 35. Da mesma forma:
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 . 5 = 35

Agora, o número 5 apareceu 7 vezes. Então 5 vezes 7 dá 35. Você já sabe que, em uma multiplicação cada número chama-se fator.

Vamos, agora, recordar algumas propriedades da multiplicação.

1) Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o resultado. Por isso:
5 . 7 = 7 . 5

2) Quando temos várias multiplicações seguidas, qualquer uma delas pode ser feita primeiro. Por exemplo:

2 . 3 . 5 = (2 . 3) . 5 = 6 . 5 = 30
2 . 3 . 5 = 2 . (3 . 5) = 2 . 15= 30
2 . 3 . 5 = (2 . 5) . 3 = 10 . 3= 30

3) Quando um número multiplica uma soma, ele multiplica cada parcela dessa soma. Por exemplo:

2.(3 + 4 + 5) = (2.12) = 24 Ou, ainda:
2.(3 + 4 + 5) = (2 . 3) + (2 . 4) + (2 . 5) = 6 + 8 + 10 = 24

Falta apenas recordar o que ocorre quando temos multiplicações com números negativos. As regras são as seguintes:

(+) . (- ) = (- )
(- ) . (+) = (- )
(- ) . (- ) = (+)

Vamos ver alguns exemplos para entender bem essas regras.

- Para calcular 4 . (- 3) podemos fazer uma soma com 4 parcelas iguais a - 3.
Daí:
4 . (- 3) = (- 3) + (- 3) + (- 3) + (-3)
4 . (- 3) = - 3 - 3 - 3 - 3
4 . (- 3) = - 12

- Para entender que o produto de dois números negativos é positivo vamos lembrar que o produto de qualquer número por zero dá zero. Portanto:

(- 3) . 0 = 0

Vamos então escrever essa igualdade assim: (- 3) . (- 2 + 2) = 0

É a mesma coisa. A igualdade continua certa. Mas, utilizando uma das propriedades da multiplicação, podemos escrever a mesma coisa de forma ainda diferente. Veja:

Ora, sabemos que (- 3) . 2 dá - 6. Logo, devemos ter (- 3) . (- 2) = 6 para que a soma seja zero.

- A divisão

Podemos pensar na divisão quando queremos dividir um total de partes iguais ou quando queremos saber quantas vezes um número cabe no outro.

Exemplo 4

Desejamos colocar 80 lápis em 5 caixas, de maneira que todas as caixas tenham o mesmo número de lápis. Quantos lápis devemos pôr em cada caixa?

A resposta é fácil. Basta dividir 80 por 5.
80/5 = 16
Logo, cada caixa deve conter 16 lápis.

No exemplo que acabamos de ver, a divisão foi exata ou seja, conseguimos colocar a mesma quantidade de lápis em cada caixa sem que sobrasse nenhum.
O que aconteceria, entretanto, se tivéssemos 82 lápis para pôr nas 5 caixas? Á resposta é fácil. Cada caixa continuaria com 16 lápis, mas sobrariam 2.

Veja a operação:

Na operação acima, 82 é o dividendo, 5 é o divisor, 16 é o quociente e 2 é o resto. Esses quatro números se relacionam da seguinte forma:
Atenção! O resto é sempre positivo e menor que o divisor.

Ao fazer uma divisão, estaremos sempre encontrando dois novos números: o quociente e o resto. Vamos ver mais um exemplo do uso dessa operação em um problema.

Exemplo 5

Certo elevador pode transportar no máximo 6 pessoas. Se existem 46 pessoas na fila, quantas viagens o elevador deverá fazer para transportar todas essas pessoas?

Devemos dividir 46 por 6. Observe a operação:
O quociente igual a 7 indica que o elevador fará 7 viagens com lotação completa. 

Mas o resto igual a 4 indica que sobrarão ainda 4 pessoas para serem transportadas. Logo, o elevador deverá fazer uma viagem a mais para transportar as 4 pessoas restantes. Portanto, o elevador fará 8 viagens para transportar todas as pessoas.

Exercício 1

Efetue as operações indicadas:
a) 37 + 43 =
b) 55 - 18 =
c) 18 - 55 =
d) 12 + (- 7) =
e) 12 - (- 7) =
 f) - 9 - 6 =
g) - 9 + (- 6) =
h) - 9 - (- 6 ) =
i) 13 .7 =
j) (- 8). 9 =
l) (7 - 3).4 =
m) (3 - 8) . (- 4) =


Para ter acesso a mais exercícios, baixe a seguinte apostila: 2mat1-b. Onde você vai encontrar a integra do material exposto neste artigo.

Esta e outras apostilas do ensino fundamental e médio, estão disponíveis aqui no blog Matemática na veia nos seguintes endereços:








Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!
Se você é aluno, professor, ou simplesmente um apaixonado pela matemática, e gostaria de cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, ou que seja relacionado à educação, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br,ou comente aqui mesmo. Agradeço sua cooperação, comentários, dicas, críticas e sugestões.


REFERÊNCIA:

Texto adaptado da apostila 2mat1-b elaborada para “O Telecurso 2000” criado pela Fundação Roberto Marinho e Fiesp.


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57 Comentários

leleco disse...

resolva este problema par mim.por favor
numa fazenda havia 35 vacas,31 carneiros,8 cavalos,59galinhas,23 patos e 14 perus,em 6 meses esta quantidade de animais foram multiplicadas por 28,em 7 meses morreram 25% e o restante dos animais foram divididos por 8 pessoas.quantos animais cada pessoa recebeu?

Anônimo disse...

Muito útilter achado esse site votos de continuidade

Anônimo disse...

muito bom pra quem tem interece de estudar..
para uns ..sim para outross...nao

Ana Paula disse...

Achei muito interessante a explicação. O processo de aprendizagem é fácil, mas reque atenção, caso contrário erra todo o problema.

caco disse...

Exato Ana! O processo requer muita atenção e também que se repita o mesmo diversas vezes. Tenho estudado alguns aspectos que dizem respeito ao processo de aprendizagem dos "pequenos", e posso afirmar com base em autores renomados. Um exemplo é o professor Keith Devlin, que cita em seu livro "o Gene da matemática" a seguinte frase, "O animal pode calcular que 3+4=7 e que 5+1=6 e, portanto ele pode dizer que 6 é menor que 7" .
Isto significa que após inúmeras repetições um chimpanzé pode fazer um cálculo semelhante ao que as nossas crianças têm uma enorme dificuldade. Por quê? Repetição minha cara! O maior segredo da aprendizagem é a repetição.
É claro que existem outros aspectos a considerar, mas no meu ponto de vista a repetição é o principal – Veja método Kumom no Google- .

Abraços, e até a próxima postagem.

Anônimo disse...

Prof.Garcia; saúde!
Vocês poderia disponibilizar dois exercícios resolvidos sobre 4 operações (antigos) cujos enunciados envolviam, por exemplo: um trem sai de uma cidade A para qa cidade B e, ao mesmo tempo, desta sai outros, na velocidade x. Quando irão se encontrar? Ou quando um vai alcançar o outro.Tenho até complexo por não conseguir resolver esse tipo de problema. Pode ser por algebra
email: akakoa@hotmail.com

VIVIANE disse...

Olá,sou professora da 4ªsérie do ensino fundamental, tenho ensinado contas de subtração para minha turma e eles estao tendo dificuldades de aprender a conta invertida, isto é, qdo o numero de cima é menor que o de baixo, tenho ensinado conforme aprendí, emprestando, é normal inverter os numeros? como se tira a prova real dessa conta? por favor me ajude esclarecer essa dúvida, os proprios pais estao me deixando doida, alguns aprenderam de um geito e outros de outro, como posso fazer pra ensinar de uma forma igual e mais fácil pra todos os alunos? obrigada viviane

caco disse...

Tudo bem Viviane? é muito difícil dizer qual a maneira correta de ensinar um conteúdo específico. Cada caso é um caso, e é preciso levar em consideração vários fatores tais como nº de estudantes da sala de aula, a personalidade da turma, do professor ,entre outros. Quanto à um modo mais fácil, você pode ensiná-los um macete para facilitar. Veja um exemplo.
Considerando que você tenha dois valores.
313 e 233 , e que você peça para subtrair o maior do menor.

Para a maioria dos adultos é fácil fazer esta conta 313-233, mas para uma criança de 9,10 anos é uma trabalho Hercúlio.
313
-233 (sabemos que 0-0=0)
---
0

caco disse...

Mas e 1+(-3) (aqui é importante a criança já ter conhecimento de que toda vez que tivermos um valor negativo este valor terá que estar entre parenteses)

Para esta conta ficar mais fácil vamos apenas somar. Como?
Pegamos o 2º valor = 3 do 2º nº=233, e verificamos quanto falta p\ chegar até 10.
Como nosso nº é 3 , então 10-3=7 . Pronto

Multiplicamos por 10 este valor e somamos a cada nº da nossa conta. 7.10=70
Somando no 1º
313
+ 70
---
383
Somando no 2º
233
+ 70
---
303

Agora fazendo a subtração:
383
- 303
---
080
Exige um pouco de atenção, mas é bem mais fácil do que subtrairmos direto.
Por que dá certo a conta?

Temos que: Somando-se o mesmo número ao minuendo e ao subtraendo, o resto não se altera.
Exemplo: 7-3=(7+2)-(3+2)=4 (somamos 2)
Faça outros exemplos com 3 valores,4,5, sempre pensando no valor posicional.

Você tem que treinar antes de ensinar este método.

caco disse...

Você pode inverter os valores, mas cada como existem muitos casos particulares acho mais fácil usar o de cima.
Também serve para nº decimais. Números com vírgulas.
Em suma, quando você for montar a equação é só adicionar no número que não tem vírgula, uma vírgula e tantos zeros quantos forem necessários. Até que o esquema da subtração fique completa.
A prova real é a normal. Como você viu o valor é sempre positivo, logo a prova é a mesma.
Considerando em somarmos a diferença com o subtraendo, devendo encontrar como resultado o minuendo.
734
246 -
---
488

Implica em:

246
488 +
---
734

caco disse...

Explicação digna de uma postagem.

Prova dos nove

Considerando em retirarmos os noves do minuendo e a seguir do subtraendo, verificando então se a diferença assim obtida é igual ao retirarmos os noves da diferença.

734 ---> 5
- 246 ---> 3
--- --
488 ---> 2

Viviane,acho que é isso. Qualquer coisa pode pedir aqui no blog. Espero ter ajudado você.
Abraços.

Denysse disse...

Axei muito boa a explicação ... É bom quando se entende o conteúdo pq fica gostoso frequentar as aulas d matemática e esse site me ajudo a asimilar um puoco mais do conteudo q estou aprendendo!

caco disse...

Obrigado Denysse! Quando gostamos de fazer algo, fica tudo mais fácil. A matemática não foge à esta regra.
Um abraço e volte quando quiser.

Jaiza disse...

Muito bom!
Estou quase ficando doida aqui,estudando pra um concurso que vou fazer...mas consegui tirar algumas dúvidas...
Obrigada!

caco disse...

Que bom que está estudando e entendendo Jaiza!Se precisar de ajuda com alguma dúvida, pergunte. Um abraço e bom estudo!

Anônimo disse...

otimo otimo mesmo eu tive um grande aproveito nesta aula para mim Sidney Reges

caco disse...

Beleza Sidney! Continue estudando os conteúdos do blog. Muita coisa legal vai ser trabalhada aqui nos próximos dias. Um abraço!

Anônimo disse...

Ah ! Vlw

Anônimo disse...

preciso de atividades variadas de matematica ,as quatro operações fundadmentaiis para ajudar minha filha. será que vocês podem me ajudar?

adriana disse...

por favor , preciso de uma grande ajuda : -1²-(-1)x -1/2.
meu nome é adriana oliveira.

caco disse...

por favor , preciso de uma grande ajuda : -1²-(-1)x -1/2.
meu nome é adriana oliveira.

Adriana tudo bem? Veja que -(1)²=-1 e (-1)²=1

Como temos um x acredito que seja uma equação
-1²-(-1)x -1/2. temos uma fração aqui. Vamos igualar a zero e fazer mmc.
1+x-1/2=0
2+2x-1=0 logo 2x+1=0
2x=-1
x=-1/2

colocando -1/2 no lugar do x da equação você tem 1=1

luiza disse...

pfv me ensine numeros ppositivos e negativos conta de somar e subtrair com eles pfvv me ajudeeeee

Anonimo disse...

isso me ajudo muito na prova...

caco36 disse...

 Luiza me diga o que você precisa. Se estiver ao meu alcance pode ter certeza uqe ajudarei. Um abraço. Não esqueça de se logar para comentar.

caco36 disse...

 Valeu anonimo. Volte e diga se tirou nota boa nesta prova. Um abraço!

Nayula Marquezine Lopes disse...

oi preciso da sua ajuda nao sei simplificar e reduzir termos semelhantes.

Nayara Bezerra de Assis disse...

ola queria que vc me ajudasse em expressoes com radicando.

Sonia disse...

Olá, nas Regras: Exemplos:
(- ) e (+) = (- ) 5 + (+ 3) = 5 - 3 = 2
Por favor verifique, pois há um erro.

Um abraço.

caco36 disse...

 Obrigado Sonia! Já foi corrigido. Mais uma vez obrigado pela participação aqui no blog Sonia, pois sem vocês o trabalho que faço nunca fica completo.

caco36 disse...

 Nayara faça suas perguntas ou use o e-mail do blog. Se estiver ao meu alcance ajudarei com certeza. Um abraço!

Limaanamn disse...

Sou Ana Paula ,minha filha está com problema nas 4 operações de matemática

caco36 disse...

 Tudo bem Ana Paula? Se você precisa de ajuda para ensinar sua filha, pode fazer as perguntas, ou mande um e-mail para mim . Estou a disposição para ajudar no que for preciso. Abraços.

caco36 disse...

 Nayula faça sua perguntas, de exemplos de exercícios que você não consegue resolver. Fico aguardando seu retorno.

Woodpf disse...

dá 2 negativo

Na disse...

nossa!! me ajudou muito obg viuu kkk

Na disse...

é facil radicando eu fiz uma prova vc vai conseguir acredite ^^

caco36 disse...

 Obrigado Na! Vejo que você faz parte do meu time e que gosta de ajudar. Um abraço e volte sempre que quiser.

Renato disse...

gostaria de saber como faço na troca de sinais tipo esta mutiplicando passa dividindo 

doido disse...

muito bom para estuda aida mais quen esra no nono ano

Anagabriellyribeiro disse...

eu estou no 7 ano e estou com dificuldades para essas contas

mayanny disse...

quero saber como e arendonda e to no 4 ano

isadora disse...

gostaria de provas onlines nesse site sobre este conteudo. seria possivel?

maria eduarda disse...

eu adorei so vo tira 10 nas provas huuu

valdirene disse...

eu quetro aprender trigonometria vc me ajuda?

jose ribeiro disse...

marvel esti sat parabem! very good

Juliana Koerich disse...

+ (um número positivo) subtraindo somando, dividindo ou multiplicando com - (um número negativo), ou vise versa, é igual à = um número NEGATIVO.

+ (um número positivo) subtraindo somando, dividindo ou multiplicando com + (um número positivo), é igual a = um número POSITIVO.

- (um número negativo) subtraindo, somando, dividindo ou multiplicando com - (um número negativo), é igual a = um número POSITIVO.

Ou seja: + com - (sinais diferentes) o resultado é NEGATIVO, + com + (sinais iguais) o resultado é sempre POSITIVO, e - com - (sinais iguais) o resultado é sempre POSITIVO.

Marlo disse...

muito bom o blog, tem tudo pra aquele momento que é necessário fazer uma revisão rápida de conteúdos ja vistos!!

Gerciane Neves disse...

446,25

marley disse...

desde pequena tenho dificuldade em contas de divisão e de multiplicação....eu já passei muita vergonha por causa disso, preciso muito da ajuda de vc...por favor me ajude....(estarei aguardando) um abraço!!!

Leandro Luiz Koza disse...

7+8x0-2=
Qual é o resultado?

Dionara Fernandes Toic disse...

7+(8x0)-2

Primeiro multiplica

8x0=0
0+7=7
7-2=5

Resposta é 5

Anônimo disse...

achei muito bom acho que vou tirar 10 na recuperação.mais davia pra fazer provas onlaini nesse sait .kkkkkkkkkkk acho que vou passar adorei esse sait. ASS: gabriel barbosa

Anônimo disse...

e otima a esplicacao mas requer muinta atencao e dedicacao se nao erra tudo

Anônimo disse...

Bom dia, queria entender como se resolve expressões deste tipo 200 + 850 – 15350 – (689 – 455 + 87) – 198 , para eu poder ajudar meu filho que tem muita dificuldade em matemática. Obrigada Mariana

Mugi-chan.com disse...

O.o

FelipeSamuel disse...

caco36 você é muito ferra .. Me fez intender coisas q eu passei minha vida toda na escola e n aprendi !! Mais deixa eu te perguntar .. esse Email... esta ativo ainda ?? Quero dizer ... caco36 você continua administrando esse Email ??

Flavio Moura disse...

Olá, como resolver essa conta?
7 + 7 / 7 + 7 x 7 - 7

na minha conta o resultado foi 50, mas não sei se está correto.
Grato,

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