Análise combinatória - Exercícios de combinações simples II


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Como eu havia prometido, esta, é mais uma bateria de exercícios de análise combinatória para treinar. Aproveite o fim de semana e faça alguns para ficar "fera" em análise. Não se esqueça, que, para você aprender qualquer conteúdo de matemática, tem que treinar muito. Quanto mais repetir os exercícios, mais fácil eles se tornarão, e vai chegar um momento, que você não terá nenhuma dificuldade para resolvê-los. é claro, que sempre terá outros mais difíceis, mas esta é a grande jogada! Temos que enfrentar dificuldades para crescer, e por que não começar encarando alguns exercícios de análise? Não se esqueça de deixar seu comentário e caso queira contribuir com algum artigo, pode entrar em contato comigo. Bom final de semana para todos, e até a próxima postagem!
 

Exercícios de combinações simples
  

























1) Quantas equipes de 2 astronautas, podem ser formadas com 20 astronautas?
A={a1, a2 ,  a3 , ... , a20 }     Onde,  n=20 e p= 2
Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:






Ou seja, podem ser formadas 190 equipes.

2) Quantas equipes de 3 astronautas, podem ser formadas com 20 astronautas?
A={a1, a2 ,  a3 , ... , a20 }     Onde,  n=20 e p= 3






Ou seja, podem ser formadas 1140 equipes.

3) Quantas equipes de 4 astronautas, podem ser formadas com 20 astronautas?
A={a1, a2 ,  a3 , ... , a20 }     Onde,  n=20 e p= 4

Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:


 

 


Ou seja, podem ser formadas 4845 equipes.

4) Quantas equipes diferentes de vôlei podem ser escaladas, tendo à disposição 10 meninas que jogam em qualquer posição? 

A= {a1, a2, a3,..., a10}     Onde, n=10 e p= 6, pois temos que uma equipe de vôlei é formada por 6 atletas.  Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:





Ou seja, podem ser formadas 210 equipes de vôlei.

5) Quantas equipes diferentes de vôlei podem ser escaladas, tendo à disposição 15 meninas que jogam em qualquer posição? 

A= {a1, a2, a3,..., a15}     Onde, n=15 e p= 6, pois temos que uma equipe de vôlei é formada por 6 atletas.  Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:




Ou seja, podem ser formadas 5005 equipes de vôlei.

6) Numa prova de 10 questões, o aluno deve resolver apenas 6.De quantas maneiras ele poderá escolher essas 6 questões?

A= {a1, a2, a3,..., a10}     Onde, n=10 e p= 6, Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:



 



Ou seja, o aluno pode escolher as questões de 210 maneiras diferentes.

7) Numa prova de 7 questões, o aluno deve resolver apenas 5.De quantas maneiras ele poderá escolher essas 5 questões?

A= {a1, a2, a3,..., a7}     Onde, n=7 e p= 5, Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:



 


 

Ou seja, o aluno pode escolher as questões de 21 maneiras diferentes.

8) Uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas das quais, 6 são homens, e 4 são mulheres.
De quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha 3 homens e 2 mulheres?

C6, 3 . C4, 2    Fazendo     
 
, e


  



Agora, multiplicamos os resultados.

C6, 3 .C4, 2  = 6.20 = 120  maneiras de formar uma comissão com 3 homens e 2 mulheres.

9) Uma urna contém 5 bolas azuis e 4 bolas vermelhas. De quantas maneiras podemos selecionar:

a) 3 bolas?

b) 3 bolas azuis e 2 vermelhas?

c) 3 bolas vermelhas e 2 azuis?

a) Observe que temos um total de 5 +4= 9 bolas dentro da urna.
Logo temos n=9 e  pbolas = 3 . Logo, para n=9 e pbolas =3 temos:
  

 
maneiras diferentes.


 

b) Observe que temos um total de 5 +4= 9 bolas dentro da urna.
Logo temos n=9, pazuis = 3 e pvermelhas = 2. Logo, para n=9, pazuis = 3 e pvermelhas = 2 temos:

Das 5 bolas azuis arranjamos três a três, e das 4 bolas vermelhas arranjamos duas a duas. Então ao montar temos a seguinte multiplicação:
C5, 3  . C4, 2  . Fazendo
 
, e





Logo, multiplicando os resultados encontrados nas combinações acima, temos:
6.10=60 maneiras diferentes.

c) Observe que temos um total de 5 +4= 9 bolas dentro da urna.
Logo temos n=9, pazuis = 2 e pvermelhas = 3. Logo, para n=9, pazuis = 2 e pvermelhas = 3 temos:

Das 5 bolas azuis arranjamos duas a duas, e das 4 bolas vermelhas arranjamos três a três. Então ao montar temos a seguinte multiplicação:
C5, 2  . C4, 3 . Fazendo


, e






Logo, multiplicando os resultados encontrados nas combinações acima, temos:

4.10=40 maneiras diferentes.

Mais exercícios e dicas em:
Apostila com exercícios e resolução completa . Para conferir os resultados, use o super software MathSys. Em análise combinatória você tem as seguintes conteúdos disponíveis:
Permutações, permutações com elementos repetidos, arranjos simples, combinação simples, exercícios com desenvolvimentos, além de dicas de softwares para auxiliar no desenvolvimento dos seus exercícios.

Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!
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Observação: 

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REFERÊNCIAS

BACHX, A. de; POPPE, L. M. B.; TAVARES; RAYMUNDO N. O. – Prelúdio à Análise Combinatória. Companhia Editora Nacional. 1975
CARVALHO, P. C. P; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C; WAGNER, E. – A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. 1998
CARVALHO, J. B. P; CARVALHO, P. C. P; FERNANDEZ, P; MORGADO, A. C de O. – Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática.

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12 Comentários

Sara Couto disse...

Bom dia!
Poderia ajudar me na resolução deste exercicio ...
Num armazém há três caixas azuis e oito caixas iguais vermelhas, um funcionário este a numerá las e de seguida vai empilhar as onze caixas de modo que as três caixas azuis fiquem juntas. Determine o numero de maneiras de o fazer.
Grata!
O meu mail é surisantoss@gmail.com

Anônimo disse...

Parabéns ...... Super simples a explicação, até ficou fácil apreender! Obrigada!

Erika Fagion

Anônimo disse...

se puder resolver essa questao, jah tentei mas nao consegui. obrigado

um jogo é formado por 25 pontos, conforme a figura. Calcule o número de formas de "caminhar" de A a C, passando por B, sabendo-se que só pode haver movimento na horizontal (da esquerda pra direita) ou na vertical (de cima pra baixo), um espaço entre dois pontos de cada vez.


a. . . . .
. . b. . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .c (desenho do exercício)


meu email é lucassilva_lopes@hotmail.com

Bianca disse...

POR FAVOR, ME AJUDE...
EXISTE UMA FORMA MAIS SIMPLES DE RESOLVER FATORIAS DE VALOR ALTO, 25 POR EXEMPLO? O NÚMERO É MUITO GRANDE...

caco disse...

Bianca, desta forma como você colocou só desenvolvendo por multiplicação...Para ajudar use uma calculadora científica.
Abraços!

Bruna disse...

Eu tenho uma dúvida, desta forma que o exercício 9 foi resolvido para mim parece que cada bola vermelha sejam diferentes entre si, o que acontece também com as azuis... a resolução seria igual para se no caso fossem 9 bolas de cores diferentes oO... vai ver estou errada mas simplesmente nao consigo entender como 5 bolas vermelhas e 4 azuis consigam formar 84 combinações diferentes. :/ caso fossem consideradas iguais graças as cores seriam 8 combinacoes apenas eu acho... alguem me ajuda!!

ac disse...

Gostei muito desses exercicios voçê poderia explicar como se usa a formula? obrigada!

ac disse...

Gostei Bastante dos exercícios" poderia explicar como se usa a formula? Obrigada! Bom Dia

Klo disse...

preciso de mais exercícios de analise combinatoria.
obrigada

Bastos Lorena disse...

Bruna, como na letra A o exercício não especifica a quantidade de bolas de cada cor, e pede apenas cominações de três levando em consideração todas as bolas sejam elas vermelhas ou azuis, essas mesmas bolas são tratadas como se fossem iguais. Porque diferentemente das questões B e C, ela não define se deve ser duas vermelhas e uma azul, ou talvez duas azuis e uma vermelha. O importante nesta questão é considerar a quantidade total de bolas somando as azuis e as vermelhas.
Em tais combinações, todos os tipos são válidos, até mesmo se fossem as três bolas de uma mesma cor. É como se fosse com pessoas. por exemplo, se fizessem grupos de 3 pessoas com um total de 9 pessoas. Essas pessoas poderiam ser divididas em homens e mulheres, mas como nesses grupos não há uma regra de quantidade de homens e mulheres, a resolução se dá ao se considerar apenas o número de pessoas e o número de diferentes combinações entre elas e não o gênero. Espero ter ajudado! 

Dudu disse...

Muito bom ! Parabéns

Anônimo disse...

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